x!y! = x! + y! + z!
Все три величины: x, y, z — должны быть натуральными числами. Восклицательный знак, естественно, обозначает факториал; в левой части формально опущен, но подразумевается знак умножения.
тэги:
математика,
уравнение,
факториал
категория:
наука и техника
ответить
комментировать
в избранное
3 ответа:
старые выше
новые выше
по рейтингу
2
Василий Котеночкин
[22.2K]
1 неделю назад
пусть y! = k x!; z! = m x!
Обозначив a = x! получаем
k a^2 = a + k a + m a
k a^2 — (1 + k + m)a = 0
Чисто формально корень а=0 не криминален. По определению ноль-факториал равен единице. В этом случае у — любое, а z=z! = -1. Но это вне пределов натуральных чисел.
Остаётся второй корень
a = (1 + k + m)/k = 1 + (1+m)/k
чисто для примера:
z=10; y=8; x = 5
k = 6*7*8; m = 6*7*8*9*10
m делится на k нацело, а значит (1+m)/k не будет содержать дробной части 1/k только в случае k=1. x=y.
Получили a = 2 + z!/a
a^2 — 2a — z! = 0
a = 1 +- sqrt(1+z!^2)
Отрицательный корень отбрасываем.
Дальше, наверно, только перебором z до первого корня, который появляется при z=4, тогда a=x!=6
x=y=3.
автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
комментировать
в избранное
ссылка
отблагодарить
3
Евгений трохов
[35.7K]
1 неделю назад
х!у! =х! +у! +z!
Пусть у>х, тогда:
у! =к*х!, где к-натуральное число
(например 5!=5*4! или
6!=30*4!).
Тогда имеем уравнение:
к*х!^2-(к+1)х!-z!=0
D=k^2+2k+1+4kz!
D=k^2+(4z!+2)k++1
D>0,здесь формально 2 корня.
Найдем корни и видно что один корень отпадет так как он отрицателен.
Останется корень:
х!=
=(к+1+L(k^2+(4z!+2)k+1))/2 (формула 1)
Здесь L-символ квадратного корня.
Проверим формулу на ответе для х, у и z, который дал автор Грустный Роджер
Если х=у=3,а z=4,то:
к=1 и :
3!=(1+1+L(1+(4*24+2)+1)):2
3!=(2+L100)/2=(2+10)/2=6
3!=6
6=6
В общем формула верна.
Но надо учесть что слева не просто х, а х!.
Что дальше ? Не знаю.
Подбором.
Ну, например к=2,имеем :
х! =(3+L(4+1+2*(4z!+2))/2
x!=(3+L(5+8z!+4))/2
x!=(3+L(9+8z!))/2
Число под знаком корня оканчивается цифрой 9.((если предположить что
z больше или равно 5) , при z<5 можно проверить, что такой корень есть при z=2,и получается х! =4,но вот только х! не может быть равным 4,то есть ложный вариант)
Теперь далее:
Можно перебрать все варианты и будет видно что при х, у, z меньших 5, одно решение, которое привел Грустный Роджер.
Но , если х больше или равен 5,то последняя цифра х! это 0.
В случае с к=2,получается что х! оканчивается на цифру (3+…9)/2=..6
То есть нет решения
х! у! =х! +у! +z! при к=2
Вот как-то так.
РS:понимаю, что ничего толком не написал, так общие рассуждения.
в избранное
ссылка
отблагодарить
Василий Котеночкин
[22.2K]
> х!==(к+1+L(k^2+(4z!+2)k+1))/2
в знаменателе должно быть 2k
Под формулу подошло, потому что k=1
— 1 неделю назад
Василий Котеночкин
[22.2K]
> х!==(к+1+L(k^2+(4z!+2)k+1))/2
в знаменателе должно быть 2k
Под формулу подошло, потому что k=1
— 1 неделю назад
Евгений трохов
[35.7K]
Да, согласен. Как говорят, опечатался.
— 1 неделю назад
Евгений трохов
[35.7K]
Но насчет к=2,общее рассуждение правильное
— 1 неделю назад
Василий Котеночкин
[22.2K]
у себя я вроде доказал, что при любом k отличном от единицы, решения нет
— 1 неделю назад
Евгений трохов
[35.7K]
Да
— 1 неделю назад
все комментарии (еще 1)
комментировать
1
Грустный Роджер
[299K]
1 неделю назад
Одно решение тут видно сразу: x=y=3, z=4.
Насчёт того, является ли оно единственным… Фиг знает, но интуитивно — вряд ли. Ведь все остальные числа должны содержать множителем пятёрку (а то и не одну), и чтоб в вот таком уравнении сошлось число нулей — сомнительно.
в избранное
ссылка
отблагодарить
Трифон Ли
[29.2K]
Интуиция — велика вещь. А как через формулу?
— 1 неделю назад
комментировать