В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона AB основания равна 6, а боковое ребро AA1 равно 3. На рёбрах AB и B1C1 отмечены точки K и L соответственно, причём AK=B1L=2. Точка M- середина ребра A1C1. Плоскость γ параллельна прямой AC и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой – точка M, а основание – сечение данной призмы плоскостью γ
Как решить данную задачу?
тэги:
геометрия,
задача,
как решить,
математика,
призма,
решение
категория:
образование
ответить
комментировать
в избранное
бонус
1 ответ:
старые выше
новые выше
по рейтингу
2
Sadness
[3.2K]
10 часов назад
Дано:
AB=BC=AC=6;
AA1=BB1=CC1=3;
AK=B1L=2;
KL1LK1=γ;
А)
BB1MM1-прямоугольник;
KL1LK1-трапеция;
ABC-правильный треугольник => Все углы по 60;
sin60=B1M/A1B1;
sqre(3)/2=B1M/6;
B1M=3/sqrt(3);
Рассмотрим треугольники ABM1 и BKE: они подобны;
AK/AB=M1E/BM1=2/6;
2/6=M1E/3/sqrt(3);
M1E=sqrt(3) => BE=2*sqrt(3)
Аналогично для треугольников B1MC и B1FL;
B1F=sqrt(3) => FM=2*sqrt(3);
Рассмотрим прямоугольник BB1MM1:
B1F=BP=sqrt(3) => PE=sqrt(3);
P.s Чтобы доказать перпендикулярность, мы должны доказать что: <FOM=90, BM перпендикулярна KK1;
tg<PEF=FP/EP=3/sqrt(3)=sqrt(3) => <PEF=60=<OFM(накрест лежащие);
tg<BMB1=BB1/MB1=3/(3/sqrt(3))=1/sqrt(3) => <BMB1=30;
<FOM=180-(60+30)=90;
BM перпендикулярна KK1(КК1 перпендикулярна BM1-проекция BM на плоскость ABC, по теореме о трёх перпендикулярах);
BM перпендикулярна плоскости γ;
Б)
KL1L1K1M-пирамида;
V(KL1L1K1M)=1/3*S(осн)*h;
h=MO;
BM^2=BB1^2+B1M^2=36;
BM=6;
Треугольники BEO и MOF- равны => BO=MO=3;
S(осн)=S(KL1LK1)=(L1L+KK1)/2*FE;
LL1=2(по подобию треугольников), KK1=4(по подобию треугольников);
FE=h;
FE^2=FP^2+PE^2=12;
FE=2*sqrt(3);
S(осн)=6/2*2sqrt(3)=6*sqrt(3);
V=1/3*6*sqrt(3)*3=6*sqrt(3);
Ответ:
А) Доказано;
Б) 6*sqrt(3);
Важно:
sqrt=корень;
комментировать
в избранное
ссылка
отблагодарить