Найдите наименьшее натуральное число, которое оканчивается на 13, делится на 13 и имеет сумму цифр, равную 13.
тэги:
деление на 13,
математическая олимпиада,
числа
категория:
образование
ответить
комментировать
в избранное
бонус
2 ответа:
старые выше
новые выше
по рейтингу
4
Светлана0202
[170K]
1 неделю назад
Понятно, что искомое число не двузначное, поскольку сумма цифр числа 13 (а только оно из всех двухзначных оканчивается на 13) равна 4, а не 13.
Трехзначным оно также не может быть, поскольку единственное трехзначное число, оканчивающееся на 13, с суммой цифр, равной 13, это 913, но оно не делится на 13.
Проверим, может ли нужное нам число быть четырехзначным. Допустим, такое число существует — а1а2а3а4, где а3=1, а4=3, а1 — натур. число, меньшее 10, а2 — целое неотриц. число, меньшее 10. Его можно представить в виде:
1000*а1 + 100а2 + 10 + 3 = 1000*а1 + 100а2 + 13.
По условию сумма его цифр должна быть равна 13, т.е.
а1 + а2 + 1 + 3 = 13 или а1 + а2 = 9, откуда а2 = 9 — а1.
А также данное число должно быть кратно 13, т.е. его можно представить в виде 13*n, где n — натур. число, откуда
1000*а1 + 100*а2 + 13 = 13*n;
1000*а1 + 100*а2 = 13*(n — 1);
1000*а1 + 100*(9 — а1) = 13*(n — 1);
900*(а1 + 1) = 13*(n — 1);
(а1 + 1) = 13*(n — 1)/900, из чего следует, что (а1 + 1) должно быть кратно 13, а это невозможно, поскольку максимально возможное значение (а1 + 1) равно 10.
Т.о., нужное нам число не является четырехзначным.
Если оно пятизначное, то
а1 + а2 + а3 + 1 + 3 = 13 или а1 + а2 + а3 = 9, из чего а3 = 9 — а1 — а2.
10000*а1 + 1000*а2 + 100*а3 + 13 = 13*n;
(11а1 + а2 + 1) = 13*(n — 1)/900, из чего
(11а1 + а2 + 1) должно делиться на 13. Очевидно, минимальные значения переменных, при которых данное условие будет выполнено, это а1 = 1 и а2 = 1.
Тогда а3 = 9 — 2 = 7, а искомое число — 11 713.
Я тут подумала, можно найти это число гораздо проще.
Поскольку, искомое число должно делиться на 13, а также оканчиваться на 13, то и число, состоящее из первых цифр искомого числа без двух последних, тоже должно делиться на 13. А сумма его цифр должна быть равной (13 — 4) = 9, то есть это число должно делиться на 9. Минимальное число, которое делится и на 13, и на 9, это (13*9) = 117. А значит, искомое число 11 713.
комментировать
в избранное
ссылка
отблагодарить
1
Ладлен
[231K]
1 неделю назад
В данном случае очень удобен метод перебора с учетом логических ограничений. Так что мы из пояснения имеем, что число оканчивается на 13. И в оставшемся числе сумма цифр равна 9. Так что вариантов не очень много. Так что мне еще и повезло, что число оказалось не очень большим. И после перебора получился ответ 11713.
комментировать
в избранное
ссылка
отблагодарить