Как решить уравнение с модулем (см)?

Каковы особенности решения уравнений с модулями? Например, такого:

|x — 2| + 19 = 4x + 11

тэги:

модуль,

уравнение

категория:

образование

ответить

комментировать

в избранное

бонус

2 ответа:

старые выше
новые выше
по рейтингу

1

Павел 60
[6.2K]

3 часа назад

Здесь придется решить два уравнения. В первом случае |x — 2| принять как число положительное, во втором как отрицательное, так как модуль любого числа есть число положительное.

1) (x — 2) + 19 = 4x + 11

2) -(x — 2) + 19 = 4x + 11

При решении обеих уравнений получается один ответ Х=2

Уравнение имеет один ответ Х = 2.

комментировать

в избранное

ссылка

отблагодарить

0

Rafai­l
[105K]

15 минут назад

Общий порядок решения уравнений с модулем таков:

1) вначале вычисляют корни модуля, т.е. те значения аргумента, при которых подмодульное выражение равно нулю. Корни модуля делят совокупность значений аргумента на интервалы, в которых подмодульное выражение положительно или отрицательно.

2) Затем в тех интервалах аргумента, в которых подмодульное выражение неотрицательно (т.е. положительно, или равно нулю) просто берут подмодульное выражение так как есть, т.е. не меняя знаков, а просто "убирая" символ модуля.

3) Затем в тех интервалах аргумента, в которых подмодульное выражение отрицательно при "раскрытии" модуля в подмодульном выражении меняют знаки на противоположные.

Конкретно с Вашим примером.

1) Корень модуля равен двум (х-2)=0, х=2; Значение х=2, делит весь интервал значений х на две части.

2) Неотрицательные значения модуля: решаем неравенство (х-2)>=0, его решения х>=2. Значит в интервале от х=2 до бесконечности просто раскрываем модуль:

|x — 2| + 19 = 4x + 11;

x — 2 + 19 = 4x + 11;

6=3x;

x=2.

Получили корень уравнения. Проверяем, входит ли он в рассматриваемый интервал. Входит, значит х=2 является корнем.

3) Отрицательные значения модуля: решаем неравенство (х-2)<0, его решения х<2. Значит в интервале от минус бесконечности до 2 при раскрытии модуля меняем знаки:

|x — 2| + 19 = 4x + 11;

-x + 2 + 19 = 4x + 11;

10=5x;

x=2.

Получили корень уравнения. Проверяем, входит ли он в рассматриваемый интервал. Не входит (мы рассматриваем интервал х<2), значит х=2 не является корнем.

Наверное я Вас запутал, то х=2 является корнем уравнения, то не является. Это получилось потому, что уравнение случайно оказалось таким, что его корень равен корню модуля, т.е. на границе интервала.

Рассмотрим другой пример:

|x — 4| + 19 = 4x + 11;

1) корень модуля х=4;

2) x — 4 >= 0; x >= 4. x — 4 + 19 = 4x + 11; 8 = 3x; x = 8/3. Но 8/3 меньше 4 и в рассматриваемый интервал не входит, значит х = 8/3 не является корнем уравнения.

3) x — 4 <0; x < 4. -x + 4 + 19 = 4x + 11; 12 = 5x; x=2,4. 2,4 меньше 4 и входит в рассматриваемый интервал, значит х =2,4 является корнем уравнения.

комментировать

в избранное

ссылка

отблагодарить