Как найти угол C треугольника ABC, вписанный в окружность с центром O?

Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Найдите градусную меру угла C треугольника ABC , если угол AOB равен 48 градусов.

тэги:

геометрия,

задача,

математика

категория:

образование

ответить

комментировать

в избранное

бонус

2 ответа:

старые выше
новые выше
по рейтингу

2

Светл­ана02­02
[170K]

30 минут назад

Действительно, как уже отмечено в предыдущем ответе, все просто, причем настолько, что даже не требуется забивать голову знанием теоремы синусов и проч.

Прежде всего, отметим, что ∠АОВ + ∠ВОС + АОС = 360° (1).

Предположим, ∠ ВОС имеет градусную меру – α, тогда поскольку тр-к ВОС равнобедренный (ВО = ОС как радиус опис. окружности) ∠ВСО = (180 – α)/2 = 90 – α/2 (2).

Из равенства (1) получаем,

∠АОС = 360 – ∠АОВ — ∠ВОС = 360 – 48 – α = 312 – α.

Вместе с тем, тр-к АОС также равнобедренный с основанием АС, а значит

∠АСО = (180 — ∠АОС)/2 = (180 – 312 + α)/2 = α/2 – 66 (3).

Ну а поскольку ∠АСВ = ∠ВСО + ∠АСО, то с учетом найденных значений (2) и (3)

∠АСВ = 90 – α/2 + α/2 – 66 = 24°.

Т.о., градусная мера угла С тр-ка АВС равна 24°.

P.S. А вообще есть замечательная теорема о том, что

комментировать

в избранное

ссылка

отблагодарить

1

simpl
[62.1K]

3 часа назад

Всё просто, применим здесь теорему синусов и расширенную теорему синусов..

Согласно расширенной теореме синусов отношение длины стороны к противоположному искомому углу равна удвоенному радиусу описанной вокруг треугольника окружности:

a/ sin (alpha)=2*R

Для треугольника с известным углом, опирающимся на центр окружности применим теорему синусов:

b1/ sin (betta1)=b2/ sin (betta2)=b3/ sin (betta3)

betta1-известный угол

b1=b2=R

betta2=betta3

betta1+betta2+betta3­=180

betta1+2*betta2=180

a=2*R sin(alpha)

откуда:

2*R sin(alpha)/sin(betta­1)=R/ sin(betta2)

Система уравнений:

2*sin(alpha)/sin(bet­ta1)=1/ sin(betta2)

betta1+2*betta2=180

betta2=(180-betta1)/­2=(180-48)/2=66

alpha=arcsin (1/2*sin (betta1)/sin (betta2)=arcsin (1/2*sin(48)/sin(66)­)=23,58 градуса или 23градуса 35 секунд..

в избранное

ссылка

отблагодарить

Инкогнито

 Абсолютно неверное решение
— 2 часа назад

комментировать