На доске написано 100 различных натуральных чисел, причем известно, что сумма этих чисел равна 5120.
а) Может ли на доске быть написано число 230?
б) Может ли быть такое, что на доске не написано число 14?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 14, написано на доске?
Как решить? Желательно под всеми буквами.
тэги:
егэ,
задача,
математика,
решить,
числа
категория:
образование
ответить
комментировать
в избранное
бонус
1 ответ:
старые выше
новые выше
по рейтингу
0
Sadness
[2.8K]
2 минуты назад
а) Посчитаем вариант, при котором сумма будет самой наименьшей. Естественно, это просто сумма первых ста чисел, т.е 1+2+3…+100. Можно считать перебирая, а можно через формулу "суммы арифметической прогрессии".
Теперь рассчитываем сумму. S100=((1+100)/2)*100=5050;
Нам надо попытаться как-нибудь, заменить любое число в нашем ряду на 230. Узнаем, какой суммы нам не достаёт до заданной в условии: 5120-5050=70, ага, а какое самое большое число было в нашем ряду? Правильно, 100. Получается, самое большое число, на которое мы сможем заменить любое число из нашего ряда, это 170. А значит, числа 230 в ряду никак быть не может.
Ответ: а) Нет;
б) Возьмём, всё тот же ряд, от 1 до 100, но уберём оттуда число 14 и попытаемся заменить его другим. Например, попробуем взять самое маленькое число после 100, а именно 101 и проведём замену. Сумму первых ста чисел мы нашли, а значит, для замены, нам надо вычесть из неё 14 и прибавить новое значение 101: 5050-14+101=5137. К сожалению в условии сказано, что сумма равна 5120, поэтому увы, нельзя исключать число 14 из нашего списка.
Ответ: б) Нет;
в) Найдём все числа кратные 14 из нашего ряда (от 1 до 100). Существует множество способов нахождения кратных значений, но в нашем случае, число не такое большое, их можно перебрать в ручную, получаем ряд, посредством сложения: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98. Всего 7 чисел кратных 14. Теперь попробуем заменить их на более большие значения не кратные 14, поскольку на данный момент, наша сумма составляет 5050. Заменим наибольшее кратное число на наименьшее из неиспользованных: 98 на 101;
Наша сумма станет: (101-98)+5050=5053;
Далее, будем руководствоваться тем же методом, заменим 84 на 102;
Сумма: (102-84)+5053=5071;
Место ещё есть, продолжаем. Заменим 70 на 103;
Сумма: (103-70)+5071=5104;
5104, по-прежнему меньше 5120, значит идём дальше. Заменим 56 на 104;
Сумма: (104-56)+5104=5152;
Получилось больше чем надо, а значит, нужно вернуться на шаг назад.
Тогда возьмём не 103, а какое-нибудь другое число, что бы сумма ряда стала равна 5120. Почитаем сколько не хватает: 5120-5104=16; Тогда, прибавим эти 16 единиц к числу 103, получим 119, проверим на кратность. 119/14=8.5, а значит оно не кратно. Мы заменили 3 кратных числа из 7, тогда осталось всего 4.
Ответ: в) 4;
Если мой ответ был полезен, или просто вам понравился, вы всегда сможете его поддержать, нажав на пальчик вверх. Спасибо за внимание.
комментировать
в избранное
ссылка
отблагодарить