Сможете ли вы просто объяснить, что такое интеграл и производная?

тэги:

математика

категория:

наука и техника

ответить

комментировать

в избранное

бонус

2 ответа:

старые выше
новые выше
по рейтингу

1

Груст­ный Родже­р
[325K]

2 недели назад

Хм. Попробую…

Производная от функции в данной точке — это, по-простому, скорость изменения какой-либо функции. Вот возьмём простейшую из них — линейную. График себе представляете, да? Просто прямая линия, которая идёт под каким-то наклоном относительно оси Х. Вот этот наклон и характеризует скорость изменение данной функции. Чем круче идёт прямая (= чем больше её наклон к оси Х), тем больше скорость её изменения (на сколько меняется функция при изменении аргумента на 1) и тем больше производная.

А если функция посложнее, не просто прямая, а какая-то кривая, то можно рассмотреть скорость её изменения в данной точке. Гладкую фунцию (то есть такую, график которой — без изломов, хотя бы на некотором участке) в небольшой окрестности какой-либо точки всегда можно аппроксимировать прямой линией, и чем меньше эта окрестность — тем точнее аппроксимация. Вот скорость изменения в пределах такой окрестности и будет производной, и чем меньше окрестность — тем ближе такая "усреднённая" производная к "истинной", вычисленной по всем правилам дифференцирования.

Если мы как-то можем вычислить производную для каждой точки нашей исходной функции, то мы опять же получим функцию (потому что функция — это зависимость одной величины от другой, заданная в любом виде, хоть таблицей, хоть графически). Вот эта вновь полученная функция и называется производной от нашей исходной. То есть, обобщая, производная есть функция, численное значение которой в каждой точке равно скорости изменения исходной функции в этой же точке (при этом же значении аргумента).

Интеграл — тут надо отдельно рассмотреть два понятия: неопределённый интеграл и определённый интеграл.

Неопреденный инеграл — это функция. Операция взятия неопределённого интеграла — это операция, обртатная нахождению производной. То есть если есть функция F(x) и есть её производная f(x) = F'(x), то F по отношению к f будет неопределённым интегралом. Она называется первообрáзной: то есть если f — производная для F, то F — первообразная для f.

Определённый интеграл — это число. Если опять же "на пальцах, то определённый интеграл равен площади под графиком нашей подынтегральной функции, между двумя значениями аргумента (определённый интеграл всегда считается в данных пределах — даже если один из них или оба равны бесконечности). То есть у нас появляется этакий кривой прямоугольник, у которого основание — кусок оси Х, левая и правая стороны — это перпендикуляры к оси Х в точках, между которыми считается определённый интеграл (эти точки называются "пределы интегрирования"), а верхняя сторона — это кусок графика функции. При этом если какой-то кусок графика расположен ниже оси Х, то соответствующая площадь берётся с отрицательным знаком.

Связь между неопределённым и определённым интегралами простая: в курсе анализа доказывается, что значение определённого интеграла от функции f(x) в пределах a, b равно разности значений первообразных: F(b) — F(a).

комментировать

в избранное

ссылка

отблагодарить

1

alexm­12
[219K]

2 недели назад

Простыми словами.

Интеграл это площадь ограниченная с одной стороны графиком функции, с другой стороны — осью Х, с третьей и четвертой — интервалом на котором интеграл считается.

Производная это касательная к графику функции в точке определения производной.

В школе, что ли, совсем ни чего не объясняют?

комментировать

в избранное

ссылка

отблагодарить