Мы знаем, что 5*5=25, а 6*6=36, то есть последняя цифра у 5 и 6 при умножении сохраняется. Таким же свойством, конечно, обладают 0 и 1. Других однозначных чисел такого свойства не существует. Их всего четыре: 0,1,5 и 6.
Таким же свойством обладают некоторые двузначные числа:
25*25=625
76*76=5776
И даже одно трехзначное: 625*625=390625
А бывают ли четырехзначные числа, последние цифры которых при возведении в степень остаются неизменными? А пятизначные? А десятизначные? А пятидесятизначные? Сколько их, чему они равны и как называются такие числа?
тэги:
арифметика,
симметрия,
теория чисел,
умножение,
цифры и числа
категория:
наука и техника
ответить
в избранное
бонус
Евгений Борисович
[1.3K]
Кто сказал, что трехзначное одно?
Не пишите, если не знаете.
— 1 неделю назад
Никольский
[5.4K]
Разве я написал "только одно"?
— 1 неделю назад
Евгений Борисович
[1.3K]
А это кто писал:
"И даже одно трехзначное: 625*625=390625" ?
— 1 неделю назад
Никольский
[5.4K]
Если существует два трехзначных, то существует и одно. Не так ли?
— 1 неделю назад
Евгений Борисович
[1.3K]
Давайте закончим пустой разговор. Вы спросили, я ответил.
— 1 неделю назад
Никольский
[5.4K]
Вы написали "Не пишите, если не знаете". Это либо вызов, либо простое хамство. Если это вызов, то я Вашей капитуляцией удовлетворен, и потому согласен: давайте закончим разговор. Если же это простое хамство, то давайте Вы извинитесь, и вот тогда закончим разговор. Лады?
— 1 неделю назад
все комментарии (еще 1)
комментировать
1 ответ:
старые выше
новые выше
по рейтингу
1
Никольский
[5.4K]
1 неделю назад
Если рассматривать лишь последние n цифр числа, пренебрегая остальными, то есть, брать остаток от деления на 10^n, то у уравнения x*x=x помимо двух очевидных решений х=0 и х=1 имеются два нетривиальных решения:
2^(4^10(n-1))%10^n
и
5^(4^10(n-1))%10^n
Показатель степени 4^10(n-1) — это функция Эйлера от 10^n, а 2 и 5 — это делители числа 10 (основание нашей системы счисления).
Для человека этот расчет невероятно сложен, но не для компьютера. Посчитать это нетрудно при помощи пары команд для python:
pow(5,4 * 10^49,10^50)
pow(2,4*10^49,10^50)
(здесь знак ^ для python надо заменить двумя звездочками)
Имеем два ответа длиной в 50 знаков:
42576576769103890995893380022607743740081787109376
и
57423423230896109004106619977392256259918212890625
Вычисления можно и сократить, воспользовавшись особыми свойствами числа 5 в десятичной системе счисления:
pow(5,4*10^49,10^50) = pow(5,2^25,10^50), то есть, просто двадцать пять раз возвести 5 в квадрат, на каждом k-ом шаге беря в ответе лишь последние 2k знаков. (Намек на это решение заключен в самом вопросе, ведь 25 = 5*5, а 0625 = 25*25 — каждый квадрат даёт два новых знака.) Такой расчет при желании можно произвести даже вручную.
Таким образом мы получаем первый ответ:
57423423230896109004106619977392256259918212890625
Как же найти после этого второй?
А очень просто: дело в том, что если x^2=x, то (1-x)^2=1-x, и потому два искомых решения связаны простым соотношением: x+y=1+10^n.
А значит второе число находится из первого как простое дополнение до 9!
В самом деле, поглядите на эти два числа. Если их расположить друг над другом, то видно, что сумма верхней и нижней цифры всегда равна 9. Только последняя цифра на единицу больше:
42576576769103890995893380022607743740081787109376
57423423230896109004106619977392256259918212890625
Ну, и осталось произвести проверку:
42576576769103890995893380022607743740081787109376 * 42576576769103890995893380022607743740081787109376 =
1812764889375397125285535509881926832151664592250642576576769103890995893380022607743740081787109376
а
57423423230896109004106619977392256259918212890625 * 57423423230896109004106619977392256259918212890625 =
3297449535554618926106859505360378084135307170375557423423230896109004106619977392256259918212890625
Добавлю, что такие числа называются автоморфными.
комментировать
в избранное
ссылка
отблагодарить