Из металла изготовлен пустотелый цилиндр, представляющий собой консервную банку без содержимого. Высота и диаметр цилиндра по 10 см. На каждом из его оснований проделано по отверстию, удаленному на 2 и 4 см от центра. В свою очередь расстояние между отверстиями по прямой составляет 11,5 см. Одно из отверстий перекрыли, когда через него внутрь банки заполз червяк. Выбраться из «плена» беспозвоночное может только через второе отверстие.
Следует вычислить наименьшее расстояние, которое может проползти червяк. Толщиной стенок банки и размерами отверстий пренебречь.
подробнее о бонусах
бонус за лучший ответ: 30 кредитов
хотите увеличить?
тэги:
геометрия,
задача,
математика
категория:
образование
ответить
в избранное
бонус
Mefody66
[29.7K]
Вы же сами сказали — 11,5 см, в чем проблема?
— 1 день назад
Vasil Stryzhak
[10.7K]
Mefody, червяк не дракон — не летает:)
— 1 день назад
комментировать
6 ответов:
старые выше
новые выше
по рейтингу
2
Polomatel
[21.1K]
3 дня назад
Мне представляется, что двигаться по диагонали червяку выгоднее на тех участках маршрута, которые длиннее, то есть при спуске по боковой стенке. При этом он сначала достигает боковой стенки цилиндра по кратчайшему пути, пройдя всего 1 см (10/2 — 4), затем спускается по дуге к точке с наименьшим расстоянием до следующего отверстия, затем проходит по кратчайшему пути до выхода еще 3 см (10/2 — 2).
Угол между радиусами на отверстия найдем из прямоугольного треугольника со сторонами Х, 10 и 11,5. Легко посчитать, что Х = 5,68 см.
Косинус угла между направлениями легко подсчитать, зная стороны треугольника.
cosA = (2*2 + 4*4 — 5,68*5,68)/ (2 * 2 * 4) = (20 — 32,25)/ 16 = — 0,76625
Отсюда угол А = 140 град.
Длина соответствующей дуги составит 140/180 * 3,14 * 5 = 12,2 см.
Длина спирали спуска, соответственно вычисляем, как корень из суммы квадратов сторон треугольника, что составит 15,77 см.
А всего путь составит 19,77 см. Что удивительно — не самый короткий.
комментировать
в избранное
ссылка
отблагодарить
2
Василий Котеночкин
[22.3K]
3 часа назад
Стал решать просто методом перебора
Для точки В абцисса менялась от 0 до 5 с шагом 0,01 мм, для точки А от абциссы точки В тоже до 5 с таким же шагом.
Вычислялись расстояния AD и ЕВ, а также длина дуги АВ, через которую по теореме Пифагора находился путь по боковой поверхности.
В результате нарисовалось значение минимального пути 17,1984136732444 при х(А)=4,973 и х(В)=3,037
Аналитически у меня ничего не получилось. Может кто-нибудь сумеет.
На случай, если у кого времени на развёртку не хватает, то
Наблюдаются интересные закономерности:
синус угла ODA в два раза меньше синуса угла ОЕВ;
Угол BOG в радианах численно равен тангенсу угла ОВЕ.
в избранное
ссылка
отблагодарить
msb
[137K]
Замечательно! Я посмотрел на развертку справа внизу и понял, как нужно решать грфически. Нужно угол ЕОД, точки пересечения лучей ОЕ и ОД с окружностью, перенести на развертку, после этого найдем центры окружностей и построим донышки, нанесем точки Е и Д. Далее уже соединяем их прямой. Если точнее, то еще разрезаем диски на сектора, чем меньше угол, тем будет точнее. И переход прямой с одного сектора на другой осуществлять по координатам. Хотя, может быть, разница будет небольшая.
— 2 часа назад
комментировать
2
Василий Котеночкин
[22.3K]
3 недели назад
Рассмотрим двумерный случай.
От червяка требуется доползти из дырки Д1 в дырку Д2 за кратчайшее время, но обязательно при этом побывав на периметре круга.
По Пифагору Д1Д2= sqrt(11,5^2 — 10^2)=5,6789
По теореме косинусов угол Д1 О Д2 = 139,9626 градусов
Одна его четверть (Д1 О А) соответственно почти 35 градусов.
Опять же по теореме косинусов AД1 =2,8688 ; AД2=5,8452
Весь путь 8,714077
С учётом проползновений по боковой стенке цилиндра
18,714077
в избранное
ссылка
отблагодарить
Vasil Stryzhak
[10.7K]
Увы, предложенный маршрут не является наименьшим.
— 3 недели назад
Василий Котеночкин
[22.3K]
В ответе дал неверное значение угла Д1 О А.
Стал его искать методом последовательного приближения вместо грубой оценки, получил 11,93975 градусов.
Соответственно, АД1=1,0279 ; АД2= 6,6035
Общий путь 17,6314.
Не исключаю, что можно будет подсократить до 17,555. Но появился ещё один вариант с немного другим рисунком, который хочется проверить.
— 2 недели назад
комментировать
2
Евгений трохов
[36.6K]
1 неделю назад
Весь путь мне представляется как:
Х+10+1.Хотя и не уверен, что это кратчайший путь.
Из теоремы косинусов:
У= корень из 32,25
Cos a=-12,25/16.
Также находим х.
Х^2=4+25-20*(-12,25/16)=
=44,31
Х=6,65
Весь путь 11+6,65=17,65
в избранное
ссылка
отблагодарить
Vasil Stryzhak
[10.7K]
Этот путь не является кратчайшим.
— 1 неделю назад
комментировать
1
msb
[137K]
1 неделю назад
Если бы путь проходил по плоскости, то кратчайшим расстоянием была бы прямая. Поскольку здесь путь лежит в пространстве, то целесообразно было бы двигаться по плоскости. Поэтому строим плоскость, проходящую через начальную и конечную точки.
Для этого проводим параллельные прямые АД и ВС до пересечения их с краем банки. Тогда путь будет АДСВ. Участок ДС на развертке будет прямой линией, а в пространстве — винтовой. Длина винтовой будет зависеть от угла альфа. При построении в масштабе получилось 70 градусов. Делим 70 на 360, умножаем на Пи и на диаметр, получаем 6 сантиметров, это один катет, второй равен 10 сантиметров, гипотенуза равна 11,7см, это и есть ДС, странным образом совпала с расстоянием между точками по прямой. Отрезок ВС получился 31мм, АД — 35мм. Весь путь 18,3 см.
Возможно, это не самый короткий маршрут, существует множество плоскостей, проходящих через прямую АВ, это лишь предложение как строить маршрут. И, конечно, можно все определить расчетами, а не графически.
в избранное
ссылка
отблагодарить
Vasil Stryzhak
[10.7K]
Путь АDСВ содержит четыре точки. Будучи расположены в одной плоскости, не факт, что они образуют минимальное расстояние между крайними точками. Но вот если раскроить «консервную банку» и развернуть ее так, что точки окажутся на одной прямой, то другое дело.
— 1 неделю назад
msb
[137K]
Развернуть консервную банку на плоскость — почти то же самое, что сделать из глобуса географическую карту. Но по карте не проложить короткий маршрут, скажем от Владивостока до С-Петербурга, прикладыванием линейки, он будет отличаться от маршрута на глобусе.
— 1 неделю назад
Vasil Stryzhak
[10.7K]
Развертка боковой поверхности цилиндра прямоугольник, а его основания – круги. Прикладывайте линейку и проводите кратчайший маршрут.
— 1 неделю назад
msb
[137K]
На рисунке изображена плоскость АВСД в вертикальном положении. Если повернуть ее таким образом, чтобы угол ДАВ равнялся 85 градусам, то путь будет составлять 17,56см. Подобрал с помощью вычисления углов и сторон треугольника, используя онлайн калькулятор. То же самое можно произвести с помощью программы Эксель и даже построить диаграмму. Но еще можно составить уравнение пути от угла поворота плоскости, взять первую производную, приравнять ее к нулю и найти минимум.
— 1 неделю назад
msb
[137K]
Развертка боковой поверхности, верхней и нижней крышек банки прямоугольник и круги, но это отдельные каждая сама по себе фигуры. Как разрезать банку и потом выложить на столе эти фигуры, чтобы сохранились пропорции? Полагаю, сначала нужно нанести "параллели" и "мередианы", разрезать банку по "мередианам" и тогда получится развертка, увязывающая более-менее точно оба отверстия. Но просто провести линию, соединяющую два отверстия не получится, так как сектора при разворачивании разойдутся и нужно будет линию проводить ступенчато, делать поправку.
— 1 неделю назад
Василий Котеночкин
[22.3K]
при нахождении производной для уравнения пути от угла, не глядя, могу дать гарантию, что нуль будет при нуле градусов. Но это локальный максимум.
— 23 часа назад
все комментарии (еще 1)
комментировать
0
Nasos
[96.5K]
3 недели назад
Я бы сделал развёртку цилиндра в виде квадрата и двух кругов. А далее вроде бы как прямая линия на развёртке указала бы кратчайший путь червяку.
Но лень мне сейчас этим заниматься, да и математическую сноровку я с возрастом порастерял. Потому только — идея.
в избранное
ссылка
отблагодарить
Vasil Stryzhak
[10.7K]
Верная идея это хорошо. Но без реального решения она витает в воображении.
— 1 неделю назад
комментировать