тэги:
алгебра,
математика,
образование,
теорема ферма,
теория чисел,
школа
категория:
образование
ответить
в избранное
бонус
Esketit
[3.6K]
Я не понял научной формулировки и хочу, чтобы мне объяснили "на пальцах".
— 3 дня назад
Евгений Борисович
[1.3K]
Спрашивайте конкретно — что не понятно?
— 3 дня назад
Esketit
[3.6K]
Что значит "сравнимо по модулю"?
— 3 дня назад
Евгений Борисович
[1.3K]
Если реально интересно, хотите изучить, нужно почитать определения.
Ну, зачем спрашивать? Зачем вам это нужно? Зачем, если вы даже в тему не пытаетесь войти?
— 3 дня назад
комментировать
1 ответ:
старые выше
новые выше
по рейтингу
0
Васил К
[513]
3 дня назад
Теорема 1. Если p- простое число и a− целое число, не делящееся на p, то a p−1−1 делится на p, т.е.
a p−1≡1 (mod p). (1)
Для доказательства теоремы 1 потребуется следующая лемма.
Лемма. Для любого простого числа p и целого числа k не кратного p, произведение k и чисел 1, 2, 3, …, p−1:
k·1, k·2, k·3, …, k·(p−1)
при делении на p в остатке дают те же самые числа 1, 2, 3, …, p−1, возможно записанные в некотором другом порядке.
Доказательство леммы. Произведение числа k с любым из чисел 1, 2, 3, …, p−1 не делится на p. Следовательно, при делении k·1, k·2, k·3, …, k·(p−1) на p не может быть нулевой остаток.
Докажем, что все остатки разные. Предположим, обратное. Пусть произведения ka и kb при делении на p дают одинаковые остатки, тогда ka−kb=k(a−b) делится на p. Но это невозможно, поскольку a−b не делится на p (т.к. |a−b|< p) . Значит все остатки разные. Существуют всего p−1 различных ненулевых остатков от деления на p и все они меньше p. Лемма доказана.
Доказательство теоремы 1. Согласно доказанной выше лемме, остатки от деления чисел a, 2a, 3a, …, (p−1)a совпадают с числами 1,2,3, …, p−1 с точностью до перестановки. Тогда
a·2a·3a … (p−1)a ≡ 1·2·3 … (p−1) (mod p).
Отсюда
a p−1(p−1)! ≡ (p−1)! (mod p). (2)
Из выражения (2) следует, что
a p−1(p−1)! − (p−1)! = (a p−1−1)(p−1)! (3)
делится на p. Так как все сомножители 1, 2, 3, …, p−1 выражения (p−1)! взаимно простые с p, то a p−1−1 делится на p или можно записать:
a p−1 ≡ 1 (mod p).
Теорема доказана.
Альтернативная формулировка малой теоремы Ферма отличается тем, что не требует, чтобы a не делилось на p.
Теорема 2. Если p — простое число, то для каждого целого числа a
a p≡a (mod p). (4)
Иными словами, если p — простое число, то для каждого целого числа a, a p−a делиться на p.
Доказательство теоремы. Если a делится на p, то a p−a=a(a p−1−1) делится на p. Выражение (4) эквивалентна выражению a·a p−1 ≡ 1·a (mod p). Если же a не делится на p, то наибольший общий делитель чисел a и p равно 1.
в избранное
ссылка
отблагодарить
Инкогнито
Хватит уже копировать тексты умник.
— 3 дня назад
Васил К
[513]
Тексты не копируются.Они прочитываются,формулируются и только затем выкладываются на всеобщее обозрение.
— 3 дня назад
Евгений Борисович
[1.3K]
Согласен! Бездарное копирование.
— 3 дня назад
комментировать