В таблице 13х13 расставлены целые числа. Как решить?

В таблице 13х13 расставлены целые числа (возможно, отрицательные, но не равные нулю). Для каждого числа в таблице сумма чисел, стоящих с ним в одной строке и одном столбце, не считая его самого, равна произведению некоторого K на это число. Найдите сумму всех K, при которых это возможно.

тэги:

задача по математике

категория:

образование

ответить

комментировать

в избранное

бонус

1 ответ:

старые выше
новые выше
по рейтингу

1

Светл­ана02­02
[171K]

8 часов назад

Обозначим сумму чисел в любой из строк S, а элементы таблицы, занимающие эту строчку, а(i), где i — натур. число от 1 до 13, обозначающее индекс элемента строки. Тогда, согласно условию, для всех а(i) верно равенство

K*а(i) = S — а(i).

Если сложить все подобные равенства для каждого элемента выбранной строки, то получим

K*S = 13S — S, откуда

S*(K — 12) = 0, из чего либо

К = 12, либо

S = 0.

И действительно, если все элементы таблицы равны одному и тому же числу, то коэффициент К будет равен 12.

Если же S = 0, то из равенства K*а(i) = S — а(i) получаем

K*а(i) = -а(i), откуда

К = -1 (а(i) не равно нулю по условию).

Такое возможно, если таблица заполнена одинаковыми числами, назовем их х, кроме 13-ти элементов, расположенных на одной из диагоналей таблицы, равных по (-12х).

Таким образом, сумма всех К, при которых выполняются описанные в задаче условия,

(12 — 1) = 11.

комментировать

в избранное

ссылка

отблагодарить