Точки N, M и L лежат на сторонах правильного треугольника АВС и при этом NM перпендикулярна ВС, ML перпендикулярна АВ и LN перпендикулярна АС. Площадь треугольника АВС равна 36. Чему равна площадь треугольника LNM?
А) 9
Б) 12
В) 15
Г) 16
Д) 18
тэги:
математика,
перпендикуляр,
площадь треугольника,
правильный треугольник
категория:
образование
ответить
комментировать
в избранное
бонус
10 ответов:
старые выше
новые выше
по рейтингу
4
Людмила1979
[129K]
18 часов назад
Решений у этой сложнейшей задачи несколько, это действительно одна из самых сложных задач в этой олимпиаде. Не буду расписывать все алгоритмы решений, просто напишу правильный ответ, ведь в данном случае только он то и нужен.
Ответ: 12 (вариант Б).
комментировать
в избранное
ссылка
отблагодарить
3
AlisaAl
[84]
19 часов назад
1) Вспоминаем формулу площади равностороннего треугольника S=sqrt(3)/4 * a^2
2) вспоминаем, что у треугольника с углами 30-60-90 катеты равны a и a*sqrt(3), а гипотенуза 2a.
3) Подписываем катеты и гипотенузы прямоугольных треугольников на рисунке. Доказываем, что треугольник LMN равносторонний.
4) Любуемся тем, что треугольник ABC — равносторонний со стороной 3a, а треугольник LMN — равносторонний со стороной a*sqrt(3).
5) Подставляем значения сторон в формулу площади (1) и обнаруживаем, что LMN в три раза меньше, чем ABC. 36:3=12
Ответ: 12
Наверное, есть более простой способ решения, но это первое, что приходит в голову.
комментировать
в избранное
ссылка
отблагодарить
2
lady v
[518K]
3 часа назад
Треугольник LMN — очевидно равносторонний, так как все его углы равны 60 градусов. Это легко понять, если вспомнить, что исходный треугольник АВС тоже равносторонний — правильный и углы при его вершинах также равны 60 градусов.
Далее мы видим, что в прямоугольных треугольниках при вершинах, которые равны между собой меньший катет равен половине гипотенузе, а в сумме меньший катет и гипотенуза равны стороне исходного треугольника АВС.
Обозначаем меньший катет за Х для облегчения расчетов и по теореме Пифагора находим длинный катет, он же сторона треугольника LMN — она равна Х*(корень из 3)
Пользуемся формулой площади равностороннего треугольника: 
И находим отношение площади треугольника АВС к площади треугольника LMN. Получаем, что треугольник LMN в 3 раза меньше треугольника АВС
Его площадь равна 12
Верный ответ Б.
комментировать
в избранное
ссылка
отблагодарить
2
Dima55
[90.3K]
1 час назад
Хорошая мате математическая задачка, позволяющая вспомнить знания геометрии.
Для начала вспомним, что такое правильный треугольник это треугольник у которого все стороны и углы равны, то есть 60 градусов.
Если найти все угла (не буду описывать) получается, что все угла треугольника NML равны шестидесяти градусов, и стороны которого также равны.
Площадь равностороннего треугольника равна:
Дальше с использованием данной формулы, я решал задачку в Экселе. Из этой формулы следует, что сторона АВ равна 9,12 с округлением. Можно доказать, что сторона NM=1/2AB и равен округленно 4,56.
Также, используя вышеуказанную формулу, и получаем площадь треугольника NML равной 9 (девяти).
комментировать
в избранное
ссылка
отблагодарить
1
m3sergey
[63.9K]
4 часа назад
Задача сложная, но довольно интересная, как мне кажется.
sqrt(3) * a.
Ответ: Б) 12
комментировать
в избранное
ссылка
отблагодарить
1
Ledi-V
[89.9K]
10 часов назад
Эта задачка по сложнее остальных, так как в ней необходимо применить знания по геометрии. А лично для меня, этот предмет казался сложнее алгебры. Для решения нам необходимо найти площадь треугольника.
Правильный вариант ответа находится под буквой Б, 12.
комментировать
в избранное
ссылка
отблагодарить
0
mychange
[51.4K]
5 минут назад
Угол LMB=180-90-60=30 (так как большой треугольник правильный), угол LBM=60 градусов
Аналогично для других углов маленького треугольника, поэтому внутренний треугольник LNM равносторонний.
Получаем по каждому маленькому треугольнику, что условие равенства треугольников выполняется: у них равны стороны, прилегающие к прямым углам, так как мы доказали, что треугольник LNM равносторонний, поскольку большой треугольник равносторонний, то углы, противоположные стороне треугольника LNM, 60 градусов, значит, к сторонам треуголника LNM прилегают углы в 30 градусов, условие равенства маленьких треугольников выполняется.
Таким образом, площадь внутреннего треугольника в 3 раза меньше площади большого — 12
комментировать
в избранное
ссылка
отблагодарить
0
Овцебык
[22.8K]
36 минут назад
Чтобы "вписать" треугольник LNM в треугольник АВС так, чтобы стороны первого были перпендикулярны сторонам второго, последний должен быть равносторонним. И "вписанный" треугольник также будет равносторонним. А дальше вступают в действие формулы расчета площади равностороннего треугольника через длину его стороны. В итоге получаем, что площадь искомого треугольника равна 12.
Правильный ответ: Б) 12.
комментировать
в избранное
ссылка
отблагодарить
0
Спаанч Бооб
[73.5K]
17 часов назад
Я бы поспорил со многими, еслы бы не знал как решить подобную задачу, которая, кстати сказать, показалась мне не совсем сложной. У каждого человека есть свои слабые места и сильные, а это как раз мой конек.
Ответом на этот вопрос в задаче будет вариант Б, или 12.
Не всегда так удачно получается решить вопрос так налегке, просто есть всегда где можно посмотреть направление в решении.
комментировать
в избранное
ссылка
отблагодарить
0
Зеленый Чебуречек
[153K]
12 часов назад
Немного отойдётм от математики и уделим время геометрии. Для решения задачи стоит вспомнить такие термины как катет и гипотеза. Вспоминаем как находить площадь треугольника.
Площадь необходимого нам треугольника равна 12.
комментировать
в избранное
ссылка
отблагодарить