На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на 61)
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раз меньше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Как решить? Желательно под всеми буквами.
тэги:
егэ,
задача,
математика,
решить,
числа
категория:
образование
ответить
комментировать
в избранное
бонус
1 ответ:
старые выше
новые выше
по рейтингу
0
Sadness
[2.8K]
26 минут назад
а) Итак, S1-сумма=2970; S2-в три раза меньше=990;
Наш ряд имеет вид a1b1+a2b2+a3b3+… +anbn, где a-это десятки, b-единицы. Получается для любого значения ab=10a+b;
Например: 45=4*10+5;
Сложим все десятки вместе: **a1+a2+a3+…+an=A**;
Сложим все единицы вместе: b1+b2+b3…+bn=B;
Наша формула для S1=10A+B;
Что бы получить S2, нам надо перевернуть числа, т.е, десятки станут единицами, а единицы станут десятками, поэтому S2=A+10B;
Решим систему уравнений: S1=10A+B и S2=A+10B;
B=S1-10A;
**S2=A+10*S1-100*A;**
Подставим значения:
990=-99A+29700;
99A=28710;
A=290- сумма всех a;
B=70-сумма всех b;
Теперь можем найти минимальное количество чисел, поскольку максимальное возможное значение, это 99, в нём 9 десятков, поэтому n=A/9=290/9=32*(2/9), получается минимальное количество 33 числа;
Теперь, выясним во сколько раз A>B=290/70=4*(1/7), получим примерно в 4.1 раза, существуют всего две комбинации, примерно удовлетворяющих нашему значению, а именно: 92 и 51;
Поскольку мы уже рассчитали минимальное количество чисел с 9 десятками, то нам будет удобнее использовать число 92 в дальнейшем.
Умножим 92 на 32 и добавим не достающее число, 92*32=2944;
2970-2944=26;
Получаем ответ: а)Наш ряд выглядит так: 92(32 раза)+26;
б) Докажем "от противного" Представим, что такое возможно, тогда наша формула S1=10A+B примет вид: 10A+B=5(A+10B);
10A+B=5(A+10B)
10A+B=5A+50B;
A=49*B/5;
A=(9*4/5)*B;
Значит, что бы такое произошло, A должно быть больше B в 9*4/5 раз. А такой комбинации не существует, поскольку, даже самое маленькое значение для B=1, а самое большое для A=9, получаем A=9/1=9;
Ответ: б)Нет;
в) Найдем наименьшее количество возможных чисел(n), для этого возьмём максимально возможно число(99) и поделим: 2970/99=30;
С использованием 9 десяток, их будет 32+доп.число. Теперь подберём такое число, в котором a=9, а b=самое маленькое число(т.е 1), теперь, наш поворот будет наиболее эффективным. Было 91, переворот: 19;
Найдём то самое доп.число, 91 умножим на 32=2912;
Вычтем из нужной суммы получившееся 2970-2912=58.
Наш ряд: 91(32 раза)+58;
Перевернём: 19(32 раза)+85;
Найдём сумму после переворота: 19*32+58=693;
Ответ: в)693;
Если мой ответ был полезен, или просто вам понравился, вы всегда сможете его поддержать, нажав на пальчик вверх. Спасибо за внимание.
комментировать
в избранное
ссылка
отблагодарить