Внутри коробки размером 36×48×80 летает муха.
Побывав на каждой грани, она возвращается в исходную точку.
Какова минимальная длина такого пути?
подробнее о бонусах
бонус за лучший ответ: 7 кредитов
хотите увеличить?
тэги:
геометрия,
занимательная задача,
занимательная математика,
математика
категория:
образование
ответить
в избранное
бонус
Юрий Па
[8K]
у меня минимальная длина пути пока что получилась 2 метра? Ваш путь короче ?
— 1 неделю назад
комментировать
5 ответов:
старые выше
новые выше
по рейтингу
2
Вова маленький
[65.8K]
1 неделю назад
Будем исходить из того, что, находясь в любом углу прямоугольного параллелепипеда коробки, муха всеми своими шестью лапами пребывает сразу на трёх гранях, по две ноги на каждой. Чтобы добраться до остальных трёх граней, ей нужно достичь угла, расположенного по диагонали, в котором эти грани сходятся.
Если мы имеем дело с обычной картонной коробкой, то надо иметь ввиду, что при полной темноте мухи не летают. Поэтому ей придётся ползать по граням. В таком случае её оптимальный путь должен проходить по зелёной дорожке через середину ребра противолежащей грани, имеющую наибольшую длину, и от неё в намеченный угол.
Весь путь с возвращением будет равен 262.
Если путь будет проходить через середину более короткого ребра по синей дорожке, то длина пути увеличится:
Если же коробка имеет прозрачные стенки и муха может летать, то её кратчайший полёт по диагонали из угла в угол займёт:
И с учётом обратного пути получится 200.
В условиях задачи не указано в чем измеряются размеры это могут быть и сантиметры, и метры.
http://dereksiz.org/i-m-smirnova-v-a-smirnov.html?page=2
в избранное
ссылка
отблагодарить
FEBUS
[504]
Муха летает, такое условие.
А это неверное утверждение —
"оптимальный путь должен проходить … через середину ребра противолежащей грани".
— 1 неделю назад
Вова маленький
[65.8K]
Да, безграмотная попалась муха. Не знает, что можно летать в темноте и строить развёртки.
http://elementy.ru/problems/997/Kratchayshie_puti_na_mnogogrannikakh
— 1 неделю назад
FEBUS
[504]
Некоторым шибко грамотным противопоказано решать задачи …
Если есть желание, надо посидеть, подумать …, а не писАть всякую чушь.
— 1 неделю назад
комментировать
2
Mefody66
[27K]
1 неделю назад
Вот я на рисунке обозначил точки и размеры коробки.
Начало отсчета пусть будет в точке О. Размеры коробки по осям (x; y; z) = (36; 80; 48)
Координат точек мы не знаем, поэтому обозначим их переменными.
A1(x1; 0; z1); A2(x2; y2; 0); A3(36; y3; z3); A4(x4; 80; z4); A5(x5; y5; 48); A6(0; y6; z6)
Длины отрезков находим по известной формуле:
A1A2 = √[(x2-x1)^2 + y2^2 + z1^2]
A2A3 = √[(36-x2)^2 + (y3-y2)^2 + z3^2]
A3A4 = √[(36-x4)^2 + (80-y3)^2 + (z4-z3)^2]
A4A5 = √[(x5-x4)^2 + (80-y5)^2 + (48-z4)^2]
A5A6 = √[x5^2 + (y6-y5)^2 + (48-z6)^2]
A6A1 = √[x1^2 + y6^2 + (z6-z1)^2]
Нам надо минимизировать функцию
S = A1A2 + A2A3 + A3A4 + A4A5 + A5A6 + A6A1
Но как это сделать при таком количестве независимых переменных — остается совершенно непонятно.
в избранное
ссылка
отблагодарить
FEBUS
[504]
Ну, можно и так. Но, слишком уж сложно.
Задача школьная. Не стандартная, конечно.
— 1 неделю назад
Mefody66
[27K]
Ага, школьная! Попробуйте доказать, что все 6 точек находятся в одной плоскости.
Я не знаю, как это доказать.
— 1 неделю назад
FEBUS
[504]
Это как раз не трудно.
— 1 неделю назад
комментировать
2
KKRV
[7.6K]
1 неделю назад
Полагаю, муха должна лететь от одного угла коробки до противоположного по объемной диагонали.
Стартовая вершина параллелепипеда принадлежит сразу трем граням, финишная — трем другим.
Минимальный путь равен длине диагонали = sqrt(36*36+48*48+80*80)см = sqrt(10000)см=1метр.
Любое отклонение от этой траектории удлинит её.
в избранное
ссылка
отблагодарить
FEBUS
[504]
Ну, конечно, неверно. Она же должна еще и вернуться. Это во-первых.
Во-вторых, почему "отклонение удлинит"? Не очевидно.
— 1 неделю назад
KKRV
[7.6K]
Да, согласен, что это не строгое доказательство. Наверно надо взять производные длины пути "туда" по каждому сдвигу координат старта и финиша и они окажутся везде положительными кроме нулевых при старте и финише на диагонали, что докажет глобальный экстремум. Для пути "обратно" можно попробовать тот же подход.
— 1 неделю назад
Юрий Па
[8K]
а муха может вернуться по тому же пути ,или нет ? Если может,то получится 2 метра-по моему неплохо. Так может или нет?
— 1 неделю назад
KKRV
[7.6K]
Если подходить формально, то муха в виде материальной точки может вернуться по чуть-чуть другому пути, почти что бесконечно близкому к пути "туда" и суммарный путь всегда может быть меньше, чем 2м+эпсилон, где эпсилон — сколь угодно малое число.
— 1 неделю назад
комментировать
1
Юрий Па
[8K]
1 неделю назад
Ну рисунок конечно жуткий вышел с одной стороны, но из него можно понять,что секущая плоскость проходит через 2 противоположных ребра,длина которых 36 сантиметров. Допустим муха летает в этой плоскости по сторонам ромба,который я выделил красным цветом. Длина каждой из четырёх сторон ромба получается 50 сантиметров,муха летает по сторонам ромба и точки её посадки это середины двух рёбер длиной 36 сантиметров, и центры граней 48х80 сантиметров.Периметр ромба и соответственно длина пути мухи 2 метра.
Если взять другие противоположные рёбра и через них провести секущую площадь,нарисовать подобный ромб уже в этой секущей плоскости,то длина этого маршрута будет также 2 метра. Всего есть три таких равновеликих варианта
в избранное
ссылка
отблагодарить
FEBUS
[504]
Ну, да. Для этих случаев все так.
— 1 неделю назад
комментировать
1
Юрий Па
[8K]
1 неделю назад
Ну я,прочитал в тегах,что задача на геометрию а не на алгебру.
Поэтому начал с того что провёл секущую плоскость,пересекающую все грани коробки. А уже в этой секущей плоскости провёл отрезки её пути.Получился замкнутый путь,длина которого 2 метра.Я решил ,что это не кратчайший путь, изменил секущую плоскость,но и с этой секущей плоскостью получил 2 метра.
Нарисовать к сожалению не получается,да и пока что нет желания,с учётом того,что возможно это не кратчайший путь.
в избранное
ссылка
отблагодарить
FEBUS
[504]
Хороший подход. Рисунок же есть.
— 1 неделю назад
комментировать